Definitheit von Matrizen anhand der Eigenwerte

Hat man die Eigenwerte einer Matrix schon bestimmt, so kann man Aussagen über die Definitheit der Matrix machen:

  • Sind alle Eigenwerte der Matrix größer Null, so ist die Matrix positiv definit
  • Sind alle Eigenwerte der Matrix entweder größer oder gleich Null, so ist die Matrix positiv semidefinit
  • Sind alle Eigenwerte der Matrix negativ, so ist die Matrix negativ definit
  • Sind alle Eigenwerte negativ oder gleich Null, so ist die Matrix negativ semidefinit
  • In allen anderen Fällen ist die Matrix indefinit

In den Operations Researches interessiert man sich zum Beispiel für die Definitheit der Hessematrix einer Funktion, da man so sagen kann ob die betrachtete Funktion konvex, konkav oder weder konkav noch konvex ist.